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對應分析模型
來源：默認管理員點擊數：413發布時間：2012-12-101 基本概念：對應分析(Correspondence Analysis)是研究定性變量(Nominal Variable)間相互關系的有效方法，通過對由兩個定性或類別變量構成的交互表(Crosstabs)進行分析，揭示同一變量的各個類別之間的差異、不同變量各個類別之間的對應關系。
對應分析是市場研究中經常用到的統計分析技術，如：利用對應分析可以進行品牌形象(Brand Image)研究、市場定位(Positioning)研究等。
2 基本原理
假定某產品共有p個品牌，形象評價用語n個，以Xij表示“認為第i個品牌具有第j 個形象”的人數，以Xit表示評價第i個品牌的總人數，Xtj表示回答第j個形象的總人數(i=1,2,…,p;j=1,2,…,n)，見表1。
表1 對應分析用交叉表
表1中，每個Xij都代表著某個品牌擁有某形象的人數，因而這一人數是品牌與形象的‘對應’點，體現品牌與形象的相互“選擇”關系，以矩陣X表示，有：
以N表示調查總人數，有：
以Ptj(j=1,2,…,n)表示形象空間構成比，則有：
以Pit(i=1,2,…,p)表示各品牌構成比，則有：
假定各品牌無形象特征，則各品牌在每一具體形象上的構成相同。稱在此假定下第i品牌在第j形象上的人數為理論數(常用T表示)，計算公式為：
(i=1,2,…,p;j=1,2,…,n)
若假定成立，Xij與Tij應非常接近，若Xij、Tij差距較大，則品牌與形象間存在對應關系，用Dij表示差值的大小，公式為：
由于Dij受Xit及Xtj數值大小的影響，不利于不同Dij間的度量，為此對其進行標準化，公式為：
常稱Zij為標準化變異變量。從公式的推倒過程可見，Zij體現著品牌與形象空間可能的對應關系，以矩陣Z表示，有：
以F=(f1，f2，…，fp)’表示品牌的形象維度(dimension，相當于偏好因子，假定p£n)， 表示形象向量，理論證明，存在系數矩陣B=B(p´n)，F、Z、B間存在如下關系：
(2)利用統計軟件，計算
的特征根、特征向量，通過貢獻率的比較確定需截取的維度，形成對應分析圖。3 對應分析的優點與局限
優點：
ü定性指標的類別越多，越容易刻畫相互間的關系;
ü 提供了將定性變量按定量方法處理的途徑，從數量的角度揭示交叉列表行列變量間關系的方法;
ü 對應分析圖將不同屬性的指標反映在同一坐標系下，為品牌定位研究提供了一個有效的方法。
局限與建議
ü 不能用于假設檢驗，并且各類別之間的距離無實際意義，及表示相對密切關系
ü 要求樣本隨機性獲得，對攔截訪問資料、重點調查資料等非隨機資料，進行對應分析時需根據配額計算調整系數。
ü 當對應點有0出現，尤其某類樣本數量占樣本總量的比例較小時，出現分析偏性的可能性較大，并且受極端值的影響較大。
應用示例：在一項關于品牌診斷的研究中，測量了5個主流品牌在18個形象指標上的表現，對應分析的部分結果見下表：
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